博士生赵瞳复旦大学数学科学学院,上海, 2020.11.26

混合机制相互作用粒子系统的极限:相互作用粒子系统是我在博士期间第一阶段的课题,它是随机过程领域的一个子方向,主要研究一个空间中大量粒子的变化过程,而这些变化是通过粒子间的随机的相互作用产生的。我研究的是一维空间上整数区间经过n等分后得到的离散格点上的粒子系统,这些粒子可能有两种状态之一A或者a。它们之间通过不同机制下的相互作用使得粒子状态发生改变,进而使一个区域上A或者a的比例发生变化。我们希望的得到当n趋于无穷大时,这个粒子系统中A或者a的某种密度的变化规律。最终我们发现,这个随时间演化的规律可以被一个含有时空白噪音的随机偏微分方程所描述(此随机偏微分方程的适定性于1988年由Shiga证明)。这个问题的相关的重要研究在1995年由Muller&Tribe给出,他们对定常频率下的投票者过程和长期接触过程给出了相应的结论。而我对这个结论进行了推广,对于伊辛模型,投票者模型,接触模型,歼灭模型等(只要满足一些条件即可)都可以得到相应的结论,并且发现相互作用的频率并不需要是定常的,可以是状态依赖的,有趣的是在漂移项中可以产生双稳结构(生物数学里的Allee效应)。更一般的是,可以在相应的随机偏微分方程中产生很一般的非线性漂移项。此外我指明了相互作用频率的大小对系统的本质的影响(与n同阶的频率可以产生拉普拉斯项和噪音项,常数阶频率可以产生漂移项)。这也就意味着,有很多种大型相互作用粒子体系统都可以近似的用随机偏微分方程来描述,同时也可以用粒子系统来研究相应的随机偏微分方程。最后我对于n很大的情况,用Matlab使用欧拉格式对相应的逐轨道空间做了蒙特卡洛模拟。深度学习解完全耦合的正倒向随机微分方程:在2017年,鄂维南院士给出了用深度学习网络解高维倒向随机微分方程与相应的半线性偏微分方程的一般方法。这种方法可以比较容易的克服传统有限差分和有限元方法在解决数值问题时遇到的维数灾难的问题,可以以较短的训练时间(5分钟)对高维(100维)PDE得到较为精确的数值解(误差0.001量级)。使用鄂老师的方法,我用python建立了相应的深度学习网络对完全耦合的正倒向随机微分方程以及相应的半线性偏微分方程进行求解,对一个能具体求解的方程得到了同样精度的数值解(误差同样是0.001量级)。个人简介:2012年-2016年:复旦大学数学与应用数学专业学士学位2016-至今:复旦大学运筹学与控制论方向博士生联系方式:地址:E-mail:上海市邯郸路220号16110180025@fudan.edu.cn

作者 gxnzx